Данный набор советов составлен по прочтении студенческих лекций по математическому анализу, набранных делающим большие успехи в наборном деле Анатолием Евгеньевичем Ширыкаловым.

PDF — это аббревиатура (Portable Document Format), поэтому пишется прописными. Если имеется в виду файл с расширением .pdf (расширения регистроНЕзаВиСИмЫ), то можно писать по-разному: pdf-файл, файл PDF, PDF-файл, .pdf-файл, .PDF-файл (хотя последние два варианта смотрятся хуже). Более громоздкие конструкции: файл типа PDF, файл типа .PDF, файл с расширением .PDF/.pdf... Необходимо учитывать, на что ставится акцент: на то, что это тип Portable Document Format с разметкой, открывающийся одинаково везде, или на то, что у файла должно быть расширение .pdf.

Топонимы-прилагательные пишутся со строчной буквы: французский, европейский, российский. Исключения — устойчивые имена собственные: Русское собрание, Английская революция. Следует заметить, что, как правило, в составных названиях организаций и событий капитализируется только первая буква: Вторая мировая война, Английская революция, Великая французская революция. Опасно уподобиться англоговорящим и «англопишущим», которые согласно своим правилам всегда географические прилагательные употребляют с заглавной буквы: «I am a Russian typesetter who is an expert in German traditions». Похвально, когда человек читает зарубежную литературу, но если он потом суётся с заморским свиным рылом в пряничный отдел, то, значит, он не только плохой переводчик, но и плохой знаток своего родного языка.

(Из доказательства эквивалентности двух формулировок аксиомы Дедекинда.) Пусть \(A,B\) — любые подмножества \(\mathbb R\), такие, что \(\forall a\in A,\ \forall b\in B \mspace{11mu} a\leqslant b\), и пусть \(\tilde B=\{\tilde b\in \mathbb{R}\colon \forall a\in A\ \, a\leqslant\tilde b\}\), \(\tilde A= \{\tilde a\in \mathbb{R}\colon \exists a\in A\colon a\geqslant \tilde a\}\).

К сожалению, в LaTeX по умолчанию нет пробела, который был бы шире обыкновенного («\ »), но у́же em-space («\quad»). Он был бы очень полезен в конструкциях вида «\(\forall a\in A,\ \forall b\in B \mspace{11mu} a\leqslant b\)». Сравните:

  • \(\forall a\in A,\ \forall b\in B \ a\leqslant b\) — слишком узко («\ », равный 1/3em, или 3.33pt для шрифта размером 10 пунктов);
  • \(\forall a\in A,\ \forall b\in B \mspace{11mu} a\leqslant b\) — в самый раз («\mspace{11mu}», где 1mu=1/18em);
  • \(\forall a\in A,\ \forall b\in B \quad a\leqslant b\) — слишком широко («\quad», где \quad=\hskip1em).

Выходит, что обычный пробел равен 6/18em (плюс-минус клей, позволяющий ему принимать значения от 4/18em до 9/18em). Напомню, 18mu=1em. В формулах, где имеется в виду, что «для такого-то условия ↑ то-то равно тому-то», на месте знака ↑ должен быть пробел, позволяющий точно отделить одну группу символов от другой. Это и логично: запись «\forall a\in A,\ \forall b\in B \mspace{11mu} a\leqslant b» сразу становится ясной, так как между однородными условиями должен быть меньший пробел, чем между подчинёнными грамматическими основами. Всем математикам рекомендуется создать краткий макрос или даже переопределить какую-нибудь ерунду вроде «\;», чтобы выдавал пробел шириной 11/18em.

  1. Если распространённое/развёрнутое (не помню) определение стоит после определяемого слова, то оно обособляется. Если перед, то нет.
    Машина, \(\langle\)переехавшая меня\(\rangle\), скрылась.
    \(\langle\)Переехвашая меня\(\rangle\) машина скрылась.
  2. Союз «такой ..., что» требует наличия запятой перед «что».
    Возьмём такой икс, что всем иксам икс! Возьмём такой икс, что все игреки задрожат!
    NB Если перед однородными членами после обобщающего слова стоит уточняющая конструкция «такие что», то тогда запятая ставится только перед всей конструкцией. Другое дело, что я не могу придумать ни одного примера, чтобы «такие что» было уточняющим словом. «Такие как» — это легко («туристы посетили старинные города, такие как Суздаль, Владимир, Ростов»). «Такие что» — это почти невозможно.
  3. Правила 1–2 отлично сочетаются.
    Я люблю \(\langle\)такой| перчёный соус|, что у окружающих глаза слезятся\(\rangle\). Я люблю перчёный соус, \(\langle\)такой, что у окружающих глаза слезятся\(\rangle\).

Как проверить, является ли какая-нибудь конструкция вводным словом? Где ставить запятые? Попробовать его выкинуть вместе с окаймляющими запятыми. Если можно это слово выкинуть и вставить, то слово вводное.

  • Он любит куриное мясо, а значит, и мясо вообще. «А значит» — вводное слово. Проверка: «Он любит куриное мясо и мясо вообще». Смысл не исказился после выбрасывания «, а значит,»? Да почти нет. Всё нормально.
    Контрпримера не будет. Если где-то написать «, а, значит,», то вводное слово «, значит,» можно будет выкинуть. Союз «а» имеет противительное значение, которое не согласуется с логическим следованием вводного слова «значит». Вывод: «а значит» — одно вводное слово.

  • Он любит куриное мясо и, следовательно, мясо вообще. «Следовательно» — вводное слово. Перед союзом «и» запятую ставить не нужно. Проверка: «Он любит куриное мясо и мясо вообще». Знаки препинания в редуцированном предложении стоят верно, поэтому можно в него безболезненно встраивать конструкцию «, следовательно,».

    • *

Будет лучше, если в определениях, сделанных курсивом, не будет переменных, выглядящих так же, как однобуквенные служебные слова (\(a\), \(c\), \(o\), \(u\), \(y\)). Правда? Это негласное правило, которого в книгах наверняка нет; приходит это правило в голову после того, как человек с первого раза не может прочесть некоторые определения. Почему? Чтобы отличать букву «c» от переменной \(c\), люди договорились делать переменные курсивом. А если всё курсивом: и текст, и переменные? Надо тогда сделать так, чтобы читатель сразу понял, где переменная, и не использовать двояко читающихся символов.

  • Пусть \(A\subset\mathbb{R}\), \(a\) — наибольший (\(\max\)) элемент \(A\), если (1) \(a\in A\); (2) \(\forall \tilde a\in A\mspace{11mu}\tilde a\leqslant a\). Плохо!
  • Пусть \(A\subset\mathbb{R}\); \(a\) — наибольший (\(\max\)) элемент \(A\), если (1) \(a\in A\); (2) \(\forall \tilde a\in A\mspace{11mu}\tilde a\leqslant a\). Средне!
  • Пусть \(A\subset\mathbb{R}\); \(m\) — наибольший (\(\max\)) элемент \(A\), если (1) \(m\in A\); (2) \(\forall \tilde m\in A\mspace{11mu}\tilde m\leqslant m\). Идеально!

Следствие №1: точка с запятой может помочь там, где замена переменных нежелательна. Следствие №2: если есть возможность перестроить предложение во избежание двоякого прочтения, то лучше это сделать.

Краткие причастия — одно Н. Краткие прилагательные — два Н.

  • Девушка ограниченна (прил.), нелюдима и замкнута.

  • Множество ограничено (прич.: чем-то оно да ограничено), непусто и замкнуто.

  • Девушка образованна (сама по себе, никто её ни от чего не образовал).

  • Прямая образована путём перечения двух плоскостей.

Совет №1. Если после слова можно подставить «кем/чем?», то это, скорее всего, краткое причастие. Прямая образована... плоскостями. А девушка чем образованна? Ничем, она сама по себе образованна и воспитанна; она не может быть образованна «чем». Совет №2. Смотрите на контекст.

  • Девушка воспитанна, умна и обаятельна. (Краткое прилагательное.)

  • Девушка воспитана мачехой. (Краткое причастие.)

    • *

Три примера корректной расстановки знаков препинания и заглавных/строчных букв в скобках (на основе правил из «Справочника издателя и автора»).

  1. То есть \(\exists c\in\mathbb{R}\colon \forall n\in\mathbb{N} \mspace{11mu} c\in[a_n; b_n]\). (Для интервалов неверно!)
  2. То есть \(\exists c\in\mathbb{R}\colon \forall n\in\mathbb{N} \mspace{11mu} c\in[a_n; b_n]\) (для интервалов неверно).
  3. То есть \(\exists c\in\mathbb{R}\colon \forall n\in\mathbb{N} \mspace{11mu} c\in[a_n; b_n]\) (для интервалов неверно!).

Общая идея. Всё выражение в скобках — либо отдельное предложение, которое берут в скобки с завершающим знаком и заглавной буквой, либо часть предложения или оборот, а поэтому пишется со строчной и по настроению завершается либо ничем, либо вопросительным/восклицательным/многоточечным знаком (знаки почти аналогичны оным в прямой речи).

  1. Павел подумал. «Вот к чему это приводит!» — наконец воскликнул он.
  2. Павел подумал: «Вот к чему это приводит».
  3. Павел подумал: «Вот к чему это приводит!» — и сел на стул.

Правила постановки запятых при однородных членах.

  1. Я люблю яблоки и груши.
  2. Я люблю яблоки, бананы и груши.
  3. Я люблю и яблоки, и бананы, и груши.
  4. Я люблю яблоки, и бананы, и груши.
  5. Я люблю яблоки и бананы, груши и сливы.
  6. Я люблю яблоки, и бананы, и груши, и сливы.

Правило добавления окончаний к числительным в цифровой записи (гадость наподобие «5-й», «5-му» в книгах почти недопустима, однако в математике есть «\(j\)-й» — с ему подобными и приходится работать).

  1. Если предпоследняя буква окончания гласная, то после дефиса пишется одна буква (житый → j-й, при десятом → при 10-м, первое → 1-е).
  2. Если предпоследняя буква окончания согласная, то после дефиса пишутся две буквы (тринадцатого → 13-го).
  3. Три и более букв на конце не имеют права на существование. Нельзя написать «13-ого»! Я скажу: «Кхм, ого, ну и тупицы же нынче набирают тексты!»

Если внутри курсивного текста идёт какая-то дробь, то она должны быть прямой. Но если она идёт сразу после курсивной скобки, то она будет торчать, аки ребро торчит на худой корове. Старайся делать так, чтобы в тексте не было выражений навроде этого: «\(\left(\dfrac{1}{\varepsilon};+\infty\right)\) (\(\dfrac1\varepsilon\) нужен, чтобы...)». Выглядит косо. Необходимо добавить после скобки хотя бы одно слово, чтобы ещё не было чувства, что текстовую скобку надо было сделать большой (конечно, не надо, но когда я вижу маленькую скобку и вылезающую дробь, то рука начинает подрагивать). Как можно сделать лучше:

  • ...\(\left(\dfrac{1}{\varepsilon};+\infty\right)\). \(\dfrac1\varepsilon\) нужен, чтобы...
  • ...\(\left(\dfrac{1}{\varepsilon};+\infty\right)\) (чтобы расстояние от левой границы до нуля сужалось, \(\dfrac1\varepsilon\) должен быть левой концом интервала).

Следствие. Команда \dfrac иногда портит расположение строк, вызывая склеивающиеся конструкции и трудночитаемые нагромождения. Лучше \dfrac во внутристрочных формулах вообще не использовать.

Для конструкций вида «я люблю и красный, и белый сорт рыбы» вариант «я люблю и красный, и белый сорта́ рыбы» абсолютно равноправен. Но в приведённом ниже примере присутствует ошибка.

  • Неправильный вариант. Длина отрезка меньше половины длины окрестности, чтобы \(\Delta n\) в ней смог колебаться, ведь \(x_0\) может лежать и в левом, и в правом хвостах \(\Delta n\).

Но почему нельзя написать «может лежать и в левом, и в правом хвостах»? Потому что точка \(x_0\) лежит только в одном хвосте. Я люблю оба сорта рыбы, все их люблю, поэтому возможно и единственное, и множественное число. Но в данном примере множественное число просто не смотрится из-за нелогичности. Это же не квантовый \(x_0\), чтобы находиться в двух хвостах одновременно.

  • Правильный вариант. Длина отрезка меньше половины длины окрестности, чтобы \(\Delta n\) в ней смог колебаться, ведь \(x_0\) может лежать и в левом, и в правом хвосте \(\Delta n\).

    • *

Прямая «d» в подынтегральных выражениях повсеместно употребляется в зарубежной математической литературе. Я согласен, не всё из зарубежной литературы брать хорошо, свои традиции должны быть везде. Но одно дело — это традиция (пределы интегрирования сверху или сбоку, «меньше или равно» прямое или наклонное, точка или запятая как десятичный разделитель), а другое — это обозначение чего-то, что имеет принципиально другое значение. Так, буква \(d\) (курсивная) может быть истолкована как переменная. В интеграле её принято называть знаком дифференциала. Но ещё кто-то из великих (Гаусс или такой величины) жаловался, что в математике не хватает обозначений. К счастью, современные типографические средства позволяют набирать громадный диапазон символов. Так что такого особенного с дифференциалом? То, что тонкий пробел «\,» перед ним не всегда заметен, например после скобки. Чтобы пользователь точно знал, что это тот самый магический символ, который завершает запись интеграла, он должен немного отличаться от стандартных переменных. Всему своё лицо: переменные — курсив (\(a=5\)), векторы — курсив со стрелочкой или жирные строчные (\(\vec a = \boldsymbol{a}=\mathbf{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix}\)), матрицы — жирные заглавные (\((\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{X})^{-1}\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{Y}\)), поля — двойные (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{R}\)), алгебры — каллиграфические (\(\mathcal{A} = \bigl\{ \{a,b\},\{c,d\},\{\Omega\},\varnothing\bigr\}\)), алгебры Ли, векторные пространства и идеалы — фрактурные (\(\mathfrak{A} \mapsto \mathfrak{gl}(\mathfrak{A})\)). А «D» и «d» в дифференциальных выражениях пусть будут прямыми. В СССР не было такого разнообразия латинских шрифтовых касс, чтобы откуда-то что-то брать.

Неправильный вариант. \(\displaystyle \frac{{d}I}{{d}t} = f(x_2,t)\frac{{d}x_2}{{d}t} - f(x_1,t)\frac{{d}x_1}{{d}t} + \int\limits_{x_1(t)}^{x_2(t)}\frac{\partial f}{\partial t}{d}x \).

Правильный вариант. \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = f(x_2,t)\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t} - f(x_1,t)\frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t} + \int\limits_{x_1(t)}^{x_2(t)}\frac{\partial f}{\partial t}\mathrm{d}x \).

Мораль. Если у Демидовича матожидание, вероятность и дисперсия обозначаются прямыми и беззасечечными \(\mathsf{E}\), \(\mathsf{P}\) и \(\mathsf{D}\), а «принадлежит» — длиннющими вилами, то это не значит, что так надо. Необходимо от каждой традиции брать лучшее в плане функциональности, а затем доказывать, что оно лучшее.